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SandBoxComplementsdalgebrelineaire

Edit detail for SandBoxComplementsdalgebrelineaire revision 7 of 9

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Editor: Bill Page Time: 2008/01/18 13:57:36 GMT-8
Note: missing ) in projortho X

added:
\begin{axiom}
---
--- linalg.input
--- Francois Maltey - janvier 2008
---
---
--- A  partir de rowEchelon
---
sameSizeVectors? Lb ==
 null Lb => true
 n := #(first Lb)
 every? (t +-> #t=n, rest Lb)

basis mat ==
 mat2 := rowEchelon mat
 basis := []
 indrow : Integer := 1
 n : Integer := ncols mat
 m : Integer := nrows mat
 for k in 1..n repeat
   if indrow <= m and mat2.(indrow,k) ~= 0
     then
       basis := cons (column (mat, k), basis)
       indrow := indrow + 1
 reverse basis

basisLV Lv ==
 null Lv => []
 not (sameSizeVectors? Lv) => error "vectors have not the same size"
 basis transpose matrix Lv

basisMat mat == basis mat

sumBasisLLV LLv == basisLV concat LLv
sumBasis2 (Lv1, Lv2) == basisLV concat (Lv1, Lv2)

kernelMat mat ==
 lv := nullSpace mat
 #lv = 1 and lv.1 = 0*lv.1 => []
 lv

subVector (v, a, b) == vector (elt (entries v, a..b))
linearVector (t, Lv) == reduce (+, [t.i*Lv.i for i in 1..#t])

intBasis2 (Lv1, Lv2) ==
 Lb1 := basisLV Lv1
 Lb2 := basisLV Lv2
 null Lb1 => []
 null Lb2 => []
 #(first Lb1) ~= #(first Lb2) => error "vectors have not the same size"
 lkv := kernelMat transpose matrix concat (Lb2, Lb1)
 d1 := #Lb1
 d2 := #Lb2
 LcoeffV1 := [subVector (kv, d2+1, d1+d2) for kv in lkv]
 [linearVector (cc, Lb1) for cc in LcoeffV1]

intBasisLLV LLv ==
 #LLv = 0 => error "no space to intersect"
 #LLv = 1 => LLv.1
--reduce (intBasis2, LLv)
 intBasis2 (LLv.1, intBasisLLV rest LLv)
\end{axiom}

\begin{axiom}
---
--- inversegeneralisee.input
--- Francois Maltey - janvier 2008
---
--- inverse generalisee
---
--- a partir du livre Algebre lineaire par Joseph Grifone p.375
--- applique pas à pas la méthode du livre à l'exemple

A := matrix [[2,1,-1,1],[1,1,0,1],[3,2,-1,2]]

--- kerA est une base de ker f ou f est definie par la matrice A

KerA  := kernelMat A

--- Le noyau de la matrice dont les lignes sont des vecteurs generateurs
--- d'un sev est le sev orthogonal. C'est un sous-espace supplementaire.
--- baseF est une base d'un sous-espace supplémentaire de ker f

baseF := kernelMat matrix KerA

--- les vecteurs colonnes de A engendre l'image Im f.
--- baseImA est une base de l'image de f calculee a partir de la matrice A

baseImA := basis A

--- baseG et baseG2 sont deux bases d'un sous-espace supplementaire de Im f
--- l'une calculee a partir de la matrice A, l'autre d'une base de Im f.

baseG := kernelMat transpose A
baseG2:= kernelMat matrix baseImA

--- La restriction g de f est un isomorphisme du supplementaire F de ker f
--- dans Im f. La matrice de g dans les bases de F et de Im f est obtenue
--- en decomposant dans Im f les images des vecteurs de la base de F.
--- La commande particularSolution effectue cette decomposition.

MP := transpose matrix baseImA
map (X +-> A*X, baseF)
map (X +-> particularSolution (MP, A*X), baseF)
B := transpose matrix map (X +-> particularSolution (MP, A*X), baseF)

--- La matrice C est celle de l'isomorphisme reciproque dans ces bases.

C := B^-1

--- la projection orthogonale de E' sur Im f peut être obtenue
--- à partir d'une base orthonormee de Im f.
--- baseImA est une base de Im f, la fonction gramschmidt construit
--- la bon associee.

GS := gramschmidt (baseImA::List Vector Expression Integer)
bonImA := map (M +-> column (M, 1), GS)
projortho X ==
 reduce (+, map (V +-> dot (V, X::Vector Expression Integer) * V, bonImA))

--- exemple de projection orthogonale sur Im f.

projortho vector [1,2,4]

--- construction de la composition g^-1 o p de E' dans E
--- en calculant les images des vecteurs de la base canonique de E'
--- puis passage des coordonnees de g^-1 o p de la base de F
--- à la base canonique de E.

Id3 := diagonalMatrix [1 for i in 1..3]
RES1 := [projortho column (Id3, i) for i in 1..3]
RES2 := [X::Vector Fraction Integer for X in RES1]
RES3 := [particularSolution (MP, X) for X in RES2]
RES := [C * X for X in RES3::List Vector Fraction Integer]

AA := transpose matrix baseF * transpose matrix RES

--- vérifications de quelques propriétés : A AA A = A et AA A AA = AA
--- transpose (A AA) = A AA : car les sev choisis sont des orthogonaux

AA * A * AA - AA
A * AA * A - A
transpose (AA * A) - AA * A
transpose (A * AA) - A * AA
\end{axiom}

Download: pdf dvi ps src tex log

axiom---
--- linalg.input
--- Francois Maltey - janvier 2008
---
---
--- A  partir de rowEchelon
---
sameSizeVectors? Lb ==
 null Lb => true
 n := #(first Lb)
 every? (t +-> #t=n, rest Lb)

Type: Void

axiombasis mat ==
 mat2 := rowEchelon mat
 basis := []
 indrow : Integer := 1
 n : Integer := ncols mat
 m : Integer := nrows mat
 for k in 1..n repeat
   if indrow <= m and mat2.(indrow,k) ~= 0
     then
       basis := cons (column (mat, k), basis)
       indrow := indrow + 1
 reverse basis

Type: Void

axiombasisLV Lv ==
 null Lv => []
 not (sameSizeVectors? Lv) => error "vectors have not the same size"
 basis transpose matrix Lv

Type: Void

axiom
basisMat mat == basis mat

Type: Void

axiom
sumBasisLLV LLv == basisLV concat LLv

Type: Void

axiom
sumBasis2 (Lv1, Lv2) == basisLV concat (Lv1, Lv2)

Type: Void

axiomkernelMat mat ==
 lv := nullSpace mat
 #lv = 1 and lv.1 = 0*lv.1 => []
 lv

Type: Void

axiom
subVector (v, a, b) == vector (elt (entries v, a..b))

Type: Void

axiom
linearVector (t, Lv) == reduce (+, [t.i*Lv.i for i in 1..#t])

Type: Void

axiomintBasis2 (Lv1, Lv2) ==
 Lb1 := basisLV Lv1
 Lb2 := basisLV Lv2
 null Lb1 => []
 null Lb2 => []
 #(first Lb1) ~= #(first Lb2) => error "vectors have not the same size"
 lkv := kernelMat transpose matrix concat (Lb2, Lb1)
 d1 := #Lb1
 d2 := #Lb2
 LcoeffV1 := [subVector (kv, d2+1, d1+d2) for kv in lkv]
 [linearVector (cc, Lb1) for cc in LcoeffV1]

Type: Void

axiomintBasisLLV LLv ==
 #LLv = 0 => error "no space to intersect"
 #LLv = 1 => LLv.1
--reduce (intBasis2, LLv)
 intBasis2 (LLv.1, intBasisLLV rest LLv)

Type: Void

axiom---
--- inversegeneralisee.input
--- Francois Maltey - janvier 2008
---
--- inverse generalisee
---
--- a partir du livre Algebre lineaire par Joseph Grifone p.375
--- applique pas à pas la méthode du livre à l'exemple
A := matrix [[2,1,-1,1],[1,1,0,1],[3,2,-1,2]]

(1)

Type: Matrix Integer

axiom--- kerA est une base de ker f ou f est definie par la matrice A
KerA  := kernelMat A

axiom

Compiling function kernelMat with type Matrix Integer -> List Vector
      Integer

(2)

Type: List Vector Integer

axiom--- Le noyau de la matrice dont les lignes sont des vecteurs generateurs
--- d'un sev est le sev orthogonal. C'est un sous-espace supplementaire.
--- baseF est une base d'un sous-espace supplémentaire de ker f
baseF := kernelMat matrix KerA

(3)

Type: List Vector Integer

axiom--- les vecteurs colonnes de A engendre l'image Im f.
--- baseImA est une base de l'image de f calculee a partir de la matrice A
baseImA := basis A
   Function definition for basis is being overwritten.
   The type of the local variable basis has changed in the computation.
   We will attempt to interpret the code.
   Compiled code for basis has been cleared.

(4)

Type: List Vector Integer

axiom--- baseG et baseG2 sont deux bases d'un sous-espace supplementaire de Im f
--- l'une calculee a partir de la matrice A, l'autre d'une base de Im f.
baseG := kernelMat transpose A

(5)

Type: List Vector Integer

axiom
baseG2:= kernelMat matrix baseImA

(6)

Type: List Vector Integer

axiom--- La restriction g de f est un isomorphisme du supplementaire F de ker f
--- dans Im f. La matrice de g dans les bases de F et de Im f est obtenue
--- en decomposant dans Im f les images des vecteurs de la base de F.
--- La commande particularSolution effectue cette decomposition.
MP := transpose matrix baseImA

(7)

Type: Matrix Integer

axiom
map (X +-> A*X, baseF)

(8)

Type: List Vector Integer

axiom
map (X +-> particularSolution (MP, A*X), baseF)

(9)

Type: List Union(Vector Fraction Integer,"failed")

axiom
B := transpose matrix map (X +-> particularSolution (MP, A*X), baseF)

(10)

Type: Matrix Fraction Integer

axiom--- La matrice C est celle de l'isomorphisme reciproque dans ces bases.
C := B^-1

(11)

Type: Matrix Fraction Integer

axiom--- la projection orthogonale de E' sur Im f peut être obtenue
--- à partir d'une base orthonormee de Im f.
--- baseImA est une base de Im f, la fonction gramschmidt construit
--- la bon associee.
GS := gramschmidt (baseImA::List Vector Expression Integer)

(12)

Type: List Matrix Expression Integer

axiom
bonImA := map (M +-> column (M, 1), GS)

(13)

Type: List Vector Expression Integer

axiomprojortho X ==
 reduce (+, map (V +-> dot (V, X::Vector Expression Integer) * V, bonImA))

Type: Void

axiom--- exemple de projection orthogonale sur Im f.
projortho vector [1,2,4]

axiom

Compiling function projortho with type Vector PositiveInteger -> 
      Vector Expression Integer

(14)

Type: Vector Expression Integer

axiom--- construction de la composition g^-1 o p de E' dans E
--- en calculant les images des vecteurs de la base canonique de E'
--- puis passage des coordonnees de g^-1 o p de la base de F
--- à la base canonique de E.
Id3 := diagonalMatrix [1 for i in 1..3]

(15)

Type: Matrix Integer

axiom
RES1 := [projortho column (Id3, i) for i in 1..3]

axiom

Compiling function projortho with type Vector Integer -> Vector 
      Expression Integer

(16)

Type: List Vector Expression Integer

axiom
RES2 := [X::Vector Fraction Integer for X in RES1]

(17)

Type: List Vector Fraction Integer

axiom
RES3 := [particularSolution (MP, X) for X in RES2]

(18)

Type: List Union(Vector Fraction Integer,"failed")

axiom
RES := [C * X for X in RES3::List Vector Fraction Integer]

(19)

Type: List Vector Fraction Integer

axiom
AA := transpose matrix baseF * transpose matrix RES

(20)

Type: Matrix Fraction Integer

axiom--- vérifications de quelques propriétés : A AA A = A et AA A AA = AA
--- transpose (A AA) = A AA : car les sev choisis sont des orthogonaux
AA * A * AA - AA

(21)

Type: Matrix Fraction Integer

axiom
A * AA * A - A

(22)

Type: Matrix Fraction Integer

axiom
transpose (AA * A) - AA * A

(23)

Type: Matrix Fraction Integer

axiom
transpose (A * AA) - A * AA

(24)

Type: Matrix Fraction Integer