A complex vector CC-space 
possesses many different hermitian isomorphisms
. In quantum mechanics a given operator
may be said to be 
-hermitian if
fricas
)set output tex off
fricas
)set output algebra on
fricas
CC:=Complex Fraction Polynomial Integer
(1) Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
Type: Type
fricas
-- dagger
htranspose(h)==map(x+->conjugate(x),transpose h)
Type: Void
fricas
)expose MCALCFN
MultiVariableCalculusFunctions is now explicitly exposed in frame
initial
Theorem
The necessary conditions for an operator 
to possess hermitean isomorphism
is that 
and 
.
Two-Dimensions
fricas
p1:CC:=complex(Rp1,Ip1)
(3) Rp1 + Ip1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q1:CC:=complex(Rq1,Iq1)
(4) Rq1 + Iq1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p2:CC:=complex(Rp2,Ip2)
(5) Rp2 + Ip2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q2:CC:=complex(Rq2,Iq2)
(6) Rq2 + Iq2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1],[p2,q2]]
+Rp1 + Ip1 %i Rq1 + Iq1 %i+
(7) | |
+Rp2 + Ip2 %i Rq2 + Iq2 %i+
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s1:=solve(imag determinant rho,Rp2)
Ip1 Rq2 - Ip2 Rq1 + Iq2 Rp1
(8) [Rp2 = ---------------------------]
Iq1
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s2:=solve(eval(imag trace rho,s1),Ip1)
(9) [Ip1 = - Iq2]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1), s2),Rp1)
(10) [0 = 0]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
eval(eval(imag trace (rho*rho),s1),s2)
(11) 0
Type: Fraction(Polynomial(Integer))
fricas
C:=eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1),s2)
(12)
2
(Iq2 Rq1 + Iq1 Rp1 - %B Iq1)Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 Rq1 - %B Iq1 Rp1
+
2 2 2
Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + %B Iq1
/
Iq1
Type: Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))
fricas
C0:=zerosOf(C)
(13)
[
ROOT
2 2
Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1
+
2 2 2
4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Rq2 + Rp1
/
2
,
-
ROOT
2 2
Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1
+
2 2 2
4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Rq2 + Rp1
/
2
]
Type: List(Expression(Complex(Integer)))
fricas
#C0
(14) 2
fricas
imag(C0.1)
(15) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.2)
(16) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
rho0:=map(x+->eval(eval(x,s1),s2),rho)
+ Rp1 - %i Iq2 Rq1 + %i Iq1+
| |
(17) |- Iq2 Rq2 - Ip2 Rq1 + Iq2 Rp1 + %i Ip2 Iq1 |
|------------------------------------------ Rq2 + %i Iq2|
+ Iq1 +
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
fricas
E:=eigenvalues(rho0)
(18)
[
%D
|
2
(Iq2 Rq1 + Iq1 Rp1 - %D Iq1)Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 Rq1 - %D Iq1 Rp1
+
2 2 2
Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + %D Iq1
]
Type: List(Union(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))),
SuchThat
?(Symbol,
Polynomial(Complex(Integer)))))
fricas
E0:=eigenvector(E.1,rho0)
+ Iq1 Rq2 + %i Iq1 Iq2 - %D Iq1 +
|----------------------------------------|
(19) [|Iq2 Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 - %i Ip2 Iq1|]
| |
+ 1 +
Type: List(Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))))
fricas
E1:=map(x+->eval(x,%D=C0.1),E0.1)
(20)
[
[
-
Iq1
*
ROOT
2 2
Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1
+
2 2 2
4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Iq1 Rq2 - Iq1 Rp1 + 2 %i Iq1 Iq2
/
2 Iq2 Rq2 + 2 Ip2 Rq1 - 2 Iq2 Rp1 - 2 %i Ip2 Iq1
]
,
[1]]
Type: Matrix(Expression(Complex(Integer)))
fricas
E2:=map(x+->eval(x,%D=C0.2),E0.1)
(21)
[
[
Iq1
*
ROOT
2 2
Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1
+
2 2 2
4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Iq1 Rq2 - Iq1 Rp1 + 2 %i Iq1 Iq2
/
2 Iq2 Rq2 + 2 Ip2 Rq1 - 2 Iq2 Rp1 - 2 %i Ip2 Iq1
]
,
[1]]
Type: Matrix(Expression(Complex(Integer)))
fricas
test(rho0*E1=C0(1)*E1)
(22) true
Type: Boolean
fricas
test(rho0*E2=C0(2)*E2)
(23) true
Type: Boolean
Given an operator 
, one must find the tensor 
for unknown manifold of hermitian isomorphisms .
fricas
h:Matrix CC:=matrix [[Ra,complex(Rb,Ib)],[complex(Rb,-Ib),Re]]
+ Ra Rb + Ib %i+
(24) | |
+Rb - Ib %i Re +
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
test(h = htranspose h)
fricas
Compiling function htranspose with type Matrix(Complex(Fraction(
Polynomial(Integer)))) -> Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(
Integer))))
(25) trueType: Boolean
fricas
H:=htranspose(rho)*h-h*rho
(26)
[
[(- 2 Ib Rp2 - 2 Ip2 Rb - 2 Ip1 Ra)%i,
- Rb Rq2 - Ra Rq1 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ib Iq2 + Ib Ip1
+
(- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra)%i
]
,
[
Rb Rq2 + Ra Rq1 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ib Iq2 - Ib Ip1
+
(- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra)%i
,
(2 Ib Rq1 - 2 Iq2 Re - 2 Iq1 Rb)%i]
]
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
We wish to find expressions for in terms of the components of
. To do this we will determine how the components of 
depend
on the components of .
fricas
J:=jacobian(concat( map(x+->[real x, imag x], concat(H::List List ?)) ),
[Ra,Rb,Ib,Re]::List Symbol)
+ 0 0 0 0 +
| |
|- 2 Ip1 - 2 Ip2 - 2 Rp2 0 |
| |
| - Rq1 - Rq2 + Rp1 Iq2 + Ip1 Rp2 |
| |
| - Iq1 - Iq2 - Ip1 - Rq2 + Rp1 - Ip2 |
(27) | |
| Rq1 Rq2 - Rp1 - Iq2 - Ip1 - Rp2 |
| |
| - Iq1 - Iq2 - Ip1 - Rq2 + Rp1 - Ip2 |
| |
| 0 0 0 0 |
| |
+ 0 - 2 Iq1 2 Rq1 - 2 Iq2+
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
The null space (kernel) of the Jacobian
fricas
N:=nullSpace(map(x+->eval(eval(x,s1),s2),J))
- Rq2 + Rp1 Rq1 Ip2 Iq2
(28) [[-----------, ---, 1, 0], [- ---, - ---, 0, 1]]
Iq1 Iq1 Iq1 Iq1
Type: List(Vector(Fraction(Polynomial(Integer))))
gives the general solution to the problem.
fricas
s4:=map((x,y)+->x=y,[Ra,Rb,Rb,Re],Ib*N.1+Re*N.2)
(29)
- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re Ib Rq1 - Iq2 Re
[Ra = --------------------------, Rb = ---------------, Rb = Ib, Re = Re]
Iq1 Iq1
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
map(x+->eval(eval(eval(x,s1),s2),s4),H)
+0 0+
(30) | |
+0 0+
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
Three-Dimensions
fricas
p1:CC:=complex(Rp1,Ip1)
(31) Rp1 + Ip1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q1:CC:=complex(Rq1,Iq1)
(32) Rq1 + Iq1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r1:CC:=complex(Rr1,Ir1)
(33) Rr1 + Ir1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p2:CC:=complex(Rp2,Ip2)
(34) Rp2 + Ip2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q2:CC:=complex(Rq2,Iq2)
(35) Rq2 + Iq2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r2:CC:=complex(Rr2,Ir2)
(36) Rr2 + Ir2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p3:CC:=complex(Rp3,Ip3)
(37) Rp3 + Ip3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q3:CC:=complex(Rq3,Iq3)
(38) Rq3 + Iq3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r3:CC:=complex(Rr3,Ir3)
(39) Rr3 + Ir3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1,r1],[p2,q2,r2],[p3,q3,r3]]
+Rp1 + Ip1 %i Rq1 + Iq1 %i Rr1 + Ir1 %i+
| |
(40) |Rp2 + Ip2 %i Rq2 + Iq2 %i Rr2 + Ir2 %i|
| |
+Rp3 + Ip3 %i Rq3 + Iq3 %i Rr3 + Ir3 %i+
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s1:=solve(imag determinant rho,Rp3)
(41)
[
Rp3
=
(- Ip1 Rq2 + Ip2 Rq1 + Iq1 Rp2 - Iq2 Rp1)Rr3
+
(Ip1 Rq3 - Ip3 Rq1 + Iq3 Rp1)Rr2 + (- Ip2 Rq3 + Ip3 Rq2 - Iq3 Rp2)Rr1
+
(- Ir1 Rp2 + Ir2 Rp1)Rq3 - Ir3 Rp1 Rq2 + Ir3 Rp2 Rq1
+
(Ip1 Iq2 - Ip2 Iq1)Ir3 + (- Ip1 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir2
+
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1
/
Iq1 Rr2 - Iq2 Rr1 - Ir1 Rq2 + Ir2 Rq1
]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s2:=solve(eval(imag trace(rho),s1),Ip1)
(42) [Ip1 = - Ir3 - Iq2]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1),s2),Rp1)
(43)
[
Rp1
=
Iq1 Ir3 Rr2 - Iq2 Ir3 Rr1 + Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1
+
Iq1 Ir1 Rp2
*
Rr3
+
2
Iq1 Iq3 Rr2
+
(- Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Rr1 + (- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - Iq2 Ir1)Rq3
+
(- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2 + (Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1
+
2
Iq1 Rp2
*
Rr2
+
2
- Ip3 Iq2 Rr1
+
2
(- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq3 - Iq2 Rq2 + (Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1
+
(- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2
*
Rr1
+
2 2 2
(- Ir1 Ir2 Rq2 + Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2)Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2
+
2
((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2)Rq2 + Ip2 Ir2 Rq1
+
2
(Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2)Rp2 Rq1 - Iq2 Ir1 Ir3
+
2
(Iq3 Ir1 Ir2 + (- Iq2 - Ip2 Iq1)Ir1)Ir3 + (Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2
+
2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1
/
Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2
+
2
(- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1 - Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2
+
(Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
eval(eval(eval(imag trace(rho*rho*rho),s1),s2),s3)
(44) 0
Type: Fraction(Polynomial(Integer))
fricas
C:=eval(eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1),s2),s3)
(45)
2
(Iq1 Ir3 Rq2 - Iq2 Ir3 Rq1 - %E Iq1 Ir3)Rr2 + Iq2 Ir1 Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 - 2 %E Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir1 Rp2 - %E Ir2 Ir3 - %E Ip2 Ir1)Rq1 - %E Iq1 Ir1 Rp2
+
3 2
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3 + (Iq2 + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
2
Rr3
+
(- Iq1 Ir3 Rq3 + Iq1 Iq3 Rq2 + (Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)
*
2
Rr2
+
Iq2 Ir3 Rq3 + (- Iq3 Ir3 + Ip3 Iq1)Rq2 - Ip3 Iq2 Rq1
+
%E Iq3 Ir3 - %E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
(- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - 2 Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2 + 2 %E Iq2 Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2
+
2
(2 Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1 + Iq1 Rp2
+
- 2 %E Iq1 Ir3 + 2 %E Iq3 Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2
Ip2 Ir3 Rq1
+
((Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)
*
Rq1
+
2
- %E Iq1 Rp2
+
2 2 2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + 2 %E Iq1)Ir3
+
Iq1 Iq2 Iq3 Ir2
+
2 2 3
((- 3 Iq2 - Ip2 Iq1 - %E )Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2
+
2 2
(Ip2 Iq1 + %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
(- Ir2 Ir3 - Ip2 Ir1)Rq2 + Iq2 Ir1 Rp2 + %E Ir2 Ir3
+
%E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
2 2
(- 2 Iq2 Ir3 - Iq2 )Rq2
+
(- Ip2 Ir3 + Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1
+
2
(- Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 + 4 %E Iq2 Ir3 + 2 %E Iq2
*
Rq2
+
2
((Iq2 Ir3 + Iq2 )Rp2 + %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(%E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
3 2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - 2 Iq2 + (- Ip2 Iq1 - 2 %E )Iq2)Ir3
+
4 2 2
Ip3 Iq1 Iq2 Ir2 - Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 - Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Rr1
+
2 2 2
- Ir1 Ir2 Rq2 + (Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2 + 2 %E Ir1 Ir2)Rq2
+
2 2
(Ir1 Ir2 Rp2 - %E Ir2 )Rq1 + %E Ir1 Rp2
+
2 2
(- Iq1 Ir2 - Iq2 Ir1 Ir2)Ir3 + Iq1 Iq2 Ir2
+
2 2 2
(- 3 Iq2 - Ip2 Iq1 - %E )Ir1 Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq3
+
3
- Iq2 Ir1 Rq2
+
2
((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Iq2 Ir1)Rq2
+
2
Ip2 Ir2 Rq1
+
(Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rp2 - 2 %E Ir2 Ir3
+
- 2 %E Iq2 Ir2
*
Rq1
+
((Iq3 Ir1 - 2 Iq1 Iq2)Ir2 - Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(2 Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 + Ip2 Iq3 Ir1
+
3 2
(- Iq2 + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2
((- Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rp2 - %E Ip2 Ir2)Rq1
+
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 + %E Iq2 Ir1)Rp2
+
2 2 2
(Iq3 Ir2 + (2 Iq2 + 2 %E )Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
3 2
((Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 + Iq2 + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir2
+
2
%E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2 2
(- Iq1 Ir2 + Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 - Iq2 Iq3 Ir1
+
2
%E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
(- %E Iq3 Ir1 Ir2 + %E Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(- 2 %E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 - %E Ip2 Iq3 Ir1
+
3 3
(- %E Iq2 + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rr3
+
2 3
(- Iq1 Iq3 Rq3 + Iq3 Rq1)Rr2
+
2 2
((Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Rq3 - Iq3 Rq2 + Ip3 Iq3 Rq1 + %E Iq3 )Rr1
+
2
(Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rq3
+
(Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rq2
+
2 2
(- Ir3 - 2 Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 + Ip3 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1)Rq1
+
2
- Iq1 Rp2 + %E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2
*
Rq3
+
((- Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)Rq2
+
2 2
(- Ip3 Ir3 + Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Rq1 + Iq1 Iq3 Rp2 Rq1 - Iq1 Iq3 Ir3
+
2 2
(Iq3 Ir1 - 3 Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir3
+
2 2 2 2
(2 Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 + (- Iq1 Iq2 + %E Iq1)Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2
*
2
Rr2
+
2
(Ip3 Iq2 Rq3 - Ip3 Iq3 Rq2 + %E Ip3 Iq3)Rr1
+
2
(Iq2 Ir2 + Ip2 Ir1)Rq3
+
2 2
(Ir3 + 2 Iq2 Ir3 - 2 Iq3 Ir2 + 2 Iq2 )Rq2 - Ip2 Ir3 Rq1
+
2
(Iq1 Ir3 + 2 Iq1 Iq2)Rp2 - %E Ir3 - 3 %E Iq2 Ir3
+
2
2 %E Iq3 Ir2 - 2 %E Iq2
*
Rq3
+
2
(Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq2
+
(Ip3 Ir3 - Ip2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2)Rq1 - Iq1 Iq3 Rp2 - %E Iq3 Ir3
+
2 %E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1
*
Rq2
+
(- Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rp2 - %E Ip3 Ir3 + %E Ip2 Iq3
+
- %E Ip3 Iq2
*
Rq1
+
2
%E Iq1 Iq3 Rp2 + Iq2 Iq3 Ir3
+
2 2
((3 Iq2 - Ip2 Iq1)Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir2
+
2 3 2 2
Ip2 Iq3 Ir1 + (Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2
+
2
%E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
2 2
(Ir1 Ir2 Rq2 + Ir1 Rp2 - %E Ir1 Ir2)Rq3
+
2
Iq2 Ir1 Rq2
+
(- Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2
*
Rq2
+
((- 2 Ir1 Ir3 - Iq2 Ir1)Rp2 + %E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rq1
+
2 2 2
Iq2 Ir1 Ir3 + (- Iq1 Iq2 Ir2 - %E Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir2
+
2 2
(2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2 + Ip3 Iq2 Ir1
+
3 2
(- Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq2 Ir3 Rq1 + %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2)Rq2
+
2
- Ip2 Ir3 Rq1
+
(- Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)Rq1
+
2 3 2
- %E Iq1 Rp2 + Iq1 Ir3 + (- Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2)Ir3
+
2 2
(Iq1 Iq3 Ir2 + Ip3 Iq1 Ir1 + %E Iq1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2 2 2
- Ip3 Iq3 Ir1 + ((2 Iq2 - 2 %E )Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2)Ir1
+
2
2 %E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2 2
(Ir3 + Iq2 Ir3)Rp2 Rq1
+
3 2 2
(%E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 - Iq2 Ir3 - 2 Iq2 Ir3
+
3 2 2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1 Iq2)Ir3 + Iq3 Ir2
+
2 2 2 2
%E Iq3 Ir2 + (2 Ip2 Iq2 Iq3 - 2 Ip3 Iq2 - %E Ip3)Ir1 + %E Ip2 Iq1
*
Rq1
+
2 2 2 2 2 2 3
(Iq1 Ir3 - 2 Iq1 Iq3 Ir1 Ir3 + Iq3 Ir1 + %E Iq1 )Rp2 - %E Iq1 Ir3
+
2
(%E Iq3 Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2)Ir3
+
2
- %E Iq1 Iq3 Ir2 + (%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2
+
2 3
- %E Ip2 Iq1 - %E Iq1
*
Ir3
+
2 2
(%E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2 Iq3)Ir2 + %E Ip3 Iq3 Ir1
+
2 3 3
((%E Iq2 + %E Ip2 Iq1 + %E )Iq3 - %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 - %E Iq1 Iq2
+
2 3
(- %E Ip2 Iq1 - %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
2
(Ip2 Ir3 - Ip3 Ir2 + Ip2 Iq2)Rq2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rp2
+
- %E Ip2 Ir3 + %E Ip3 Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq3
+
2
- Ip3 Iq2 Rq2 + ((Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rp2 + 2 %E Ip3 Iq2)Rq2
+
(- %E Iq3 Ir3 - %E Iq2 Iq3)Rp2 + Ip2 Iq2 Iq3 Ir3 - Ip3 Iq2 Iq3 Ir2
+
2 3 2
Ip2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq2 - %E Ip3 Iq2
*
2
Rr1
+
2 2 2
(- Ir2 Rq2 - Ir1 Ir2 Rp2 + %E Ir2 )Rq3
+
2
(Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rq2
+
- Ip2 Ir2 Rq1 + (Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2)Rp2 - %E Ir2 Ir3
+
2 %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1
*
Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rp2 + %E Ip2 Ir2)Rq1
+
2
(- %E Ir1 Ir3 + %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Iq2 Ir2 Ir3
+
2
((3 Iq2 + Ip2 Iq1)Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2 3 2
(- Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 + (Iq2 + (Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
3 2 2
Iq2 Ir3 Rq2 + (Ip2 Ir3 Rq1 + Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq2 Ir3 + %E Iq2 )Rq2
+
2
((- Ir3 - Iq2 Ir3)Rp2 - %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(- %E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
2
(- Iq3 Ir2 + Ip2 Iq1)Ir3
+
3
(- 2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 - Ip2 Iq3 Ir1 + Iq2
+
2
(Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Ir3
+
2 2 2
(- 2 Iq2 Iq3 - 2 Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 - 2 %E Iq2
*
Rq2
+
2 2 2
(%E Ir3 - %E Iq2 )Rp2 - Ip2 Iq2 Ir3
+
2
(- Ip2 Iq3 + Ip3 Iq2)Ir2 Ir3 + Ip3 Iq3 Ir2
+
2 2 2
(- 2 Ip2 Iq2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2 + %E Ip3)Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq1
+
2 2
- Iq1 Iq2 Ir3 + (Iq1 Iq3 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2 2
- %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2
*
Rp2
+
2
(%E Iq3 Ir2 - %E Ip2 Iq1)Ir3
+
3
(3 %E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1)Ir2 + %E Ip2 Iq3 Ir1 + %E Iq2
+
3
%E Iq2
*
Ir3
+
2 4
(2 %E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq2
+
3 2
(%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2
*
Rr1
+
2 3 2 2 2
(Ir1 Ir2 Ir3 - Iq1 Ir2 + 2 Iq2 Ir1 Ir2 + Ip2 Ir1 Ir2)Rq3
+
2
%E Ir1 Ir2 Rq2
+
2 2 2 2
- %E Ir2 Rq1 + %E Ir1 Rp2 - Ir1 Ir2 Ir3 + Iq1 Ir2 Ir3
+
2 2 2 2
(- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Ir2 + (- Ip3 Ir1 + (2 Iq2 - 2 %E )Ir1)Ir2
+
2
Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq2
+
2 2 2
- %E Ir1 Ir2 Rp2 - Ir2 Ir3 + (- 3 Iq2 Ir2 - 2 Ip2 Ir1 Ir2)Ir3
+
3 2 2 2
Iq3 Ir2 + (Ip3 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1 + %E )Ir2
*
Rq1
+
2 2 2 2 2
(- Iq1 Ir2 + 2 Iq1 Iq2 Ir1 Ir2 + (- Iq2 - %E )Ir1 )Rp2
+
2 2
%E Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq3 Ir1 Ir2
+
2 2 3
(%E Ip3 Ir1 + (%E Iq2 + %E Ip2 Iq1 + %E )Ir1)Ir2
*
Rq3
+
3
%E Iq2 Ir1 Rq2
+
2
(- %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1)Rq1 + %E Iq1 Ir1 Rp2 - Iq2 Ir1 Ir3
+
2 2
(Iq1 Iq2 Ir2 - Iq2 Ir1)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir1 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1
+
2
- 2 %E Iq2 Ir1
*
2
Rq2
+
2
- %E Ip2 Ir2 Rq1
+
3
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Ir2 Ir3
+
2 2
2 Iq2 Ir2 Ir3 + ((Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1 + %E )Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2 2
Iq2 Iq3 Ir2 + ((- Ip2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2)Ir1 + 2 %E Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2 2
(Iq1 Ir2 - Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1
+
2
- %E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
2
2 %E Iq2 Ir1 Ir3
+
2
(- %E Iq3 Ir1 Ir2 + (2 %E Iq2 + %E Ip2 Iq1)Ir1)Ir3
+
2
- %E Ip3 Iq1 Ir1 Ir2 + (- %E Ip2 Iq3 + 2 %E Ip3 Iq2)Ir1
+
3 3
(%E Iq2 + (%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2 2
(%E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rp2 + Ip2 Ir2 Ir3 - Ip3 Ir2 Ir3
+
2 2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Ir2
*
2
Rq1
+
2 2 2
(- Iq1 Iq2 Ir2 + (Iq2 + %E )Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir2
+
2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2
*
Rp2
+
3 2
- %E Ir2 Ir3 - 2 %E Iq2 Ir2 Ir3
+
2 2 3
(- %E Iq3 Ir2 + (- %E Ip3 Ir1 - 2 %E Iq2 - %E Ip2 Iq1 - %E )Ir2)Ir3
+
2
- %E Iq2 Iq3 Ir2
+
3 3
(- %E Ip3 Iq2 Ir1 - %E Iq2 + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
*
Rq1
+
3
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3
+
2 2 2
- Iq1 Iq3 Ir2 + (- Iq2 Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 )Ir2
+
3 2
(- Iq2 - %E Iq2)Ir1
*
2
Ir3
+
2 2 2
(Iq3 Ir1 - 2 Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir2
+
2 3
((- 2 Ip2 Iq1 + %E )Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2
+
2
Ip2 Iq1 Iq2
*
Ir2
+
4 2 2 2
(- Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2 - %E Ip2 Iq1)Ir1
*
Ir3
+
2 2 2 2
((Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 - Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir2
+
2 2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2 Iq3)Ir1
+
3 2 2 2
((Iq2 + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2 + %E Ip3 Iq1)Ir1
*
Ir2
+
2 2 3 2 2
((Ip2 Iq2 + %E Ip2)Iq3 - Ip3 Iq2 - %E Ip3 Iq2)Ir1
/
2
Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1
+
- Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
Type: Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))
fricas
factor C
(46)
2
(Iq1 Ir3 Rq2 - Iq2 Ir3 Rq1 - %E Iq1 Ir3)Rr2 + Iq2 Ir1 Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 - 2 %E Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir1 Rp2 - %E Ir2 Ir3 - %E Ip2 Ir1)Rq1 - %E Iq1 Ir1 Rp2
+
3 2
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3 + (Iq2 + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
2
Rr3
+
(- Iq1 Ir3 Rq3 + Iq1 Iq3 Rq2 + (Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)
*
2
Rr2
+
Iq2 Ir3 Rq3 + (- Iq3 Ir3 + Ip3 Iq1)Rq2 - Ip3 Iq2 Rq1
+
%E Iq3 Ir3 - %E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
(- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - 2 Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2 + 2 %E Iq2 Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2
+
2
(2 Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1 + Iq1 Rp2
+
- 2 %E Iq1 Ir3 + 2 %E Iq3 Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2
Ip2 Ir3 Rq1
+
((Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)
*
Rq1
+
2
- %E Iq1 Rp2
+
2 2 2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + 2 %E Iq1)Ir3
+
Iq1 Iq2 Iq3 Ir2
+
2 2 3
((- 3 Iq2 - Ip2 Iq1 - %E )Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2
+
2 2
(Ip2 Iq1 + %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
(- Ir2 Ir3 - Ip2 Ir1)Rq2 + Iq2 Ir1 Rp2 + %E Ir2 Ir3
+
%E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
2 2
(- 2 Iq2 Ir3 - Iq2 )Rq2
+
(- Ip2 Ir3 + Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1
+
2
(- Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 + 4 %E Iq2 Ir3 + 2 %E Iq2
*
Rq2
+
2
((Iq2 Ir3 + Iq2 )Rp2 + %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(%E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
3 2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - 2 Iq2 + (- Ip2 Iq1 - 2 %E )Iq2)Ir3
+
4 2 2
Ip3 Iq1 Iq2 Ir2 - Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 - Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Rr1
+
2 2 2
- Ir1 Ir2 Rq2 + (Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2 + 2 %E Ir1 Ir2)Rq2
+
2 2
(Ir1 Ir2 Rp2 - %E Ir2 )Rq1 + %E Ir1 Rp2
+
2 2
(- Iq1 Ir2 - Iq2 Ir1 Ir2)Ir3 + Iq1 Iq2 Ir2
+
2 2 2
(- 3 Iq2 - Ip2 Iq1 - %E )Ir1 Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq3
+
3
- Iq2 Ir1 Rq2
+
2
((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Iq2 Ir1)Rq2
+
2
Ip2 Ir2 Rq1
+
(Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rp2 - 2 %E Ir2 Ir3
+
- 2 %E Iq2 Ir2
*
Rq1
+
((Iq3 Ir1 - 2 Iq1 Iq2)Ir2 - Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(2 Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 + Ip2 Iq3 Ir1
+
3 2
(- Iq2 + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2
((- Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rp2 - %E Ip2 Ir2)Rq1
+
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 + %E Iq2 Ir1)Rp2
+
2 2 2
(Iq3 Ir2 + (2 Iq2 + 2 %E )Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
3 2
((Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 + Iq2 + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir2
+
2
%E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2 2
(- Iq1 Ir2 + Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 - Iq2 Iq3 Ir1
+
2
%E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
(- %E Iq3 Ir1 Ir2 + %E Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(- 2 %E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 - %E Ip2 Iq3 Ir1
+
3 3
(- %E Iq2 + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rr3
+
2 3
(- Iq1 Iq3 Rq3 + Iq3 Rq1)Rr2
+
2 2
((Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Rq3 - Iq3 Rq2 + Ip3 Iq3 Rq1 + %E Iq3 )Rr1
+
2
(Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rq3
+
(Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rq2
+
2 2
(- Ir3 - 2 Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 + Ip3 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1)Rq1
+
2
- Iq1 Rp2 + %E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2
*
Rq3
+
((- Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)Rq2
+
2 2
(- Ip3 Ir3 + Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Rq1 + Iq1 Iq3 Rp2 Rq1 - Iq1 Iq3 Ir3
+
2 2
(Iq3 Ir1 - 3 Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir3
+
2 2 2 2
(2 Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 + (- Iq1 Iq2 + %E Iq1)Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2
*
2
Rr2
+
2
(Ip3 Iq2 Rq3 - Ip3 Iq3 Rq2 + %E Ip3 Iq3)Rr1
+
2
(Iq2 Ir2 + Ip2 Ir1)Rq3
+
2 2
(Ir3 + 2 Iq2 Ir3 - 2 Iq3 Ir2 + 2 Iq2 )Rq2 - Ip2 Ir3 Rq1
+
2
(Iq1 Ir3 + 2 Iq1 Iq2)Rp2 - %E Ir3 - 3 %E Iq2 Ir3
+
2
2 %E Iq3 Ir2 - 2 %E Iq2
*
Rq3
+
2
(Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq2
+
(Ip3 Ir3 - Ip2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2)Rq1 - Iq1 Iq3 Rp2 - %E Iq3 Ir3
+
2 %E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1
*
Rq2
+
(- Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rp2 - %E Ip3 Ir3 + %E Ip2 Iq3
+
- %E Ip3 Iq2
*
Rq1
+
2
%E Iq1 Iq3 Rp2 + Iq2 Iq3 Ir3
+
2 2
((3 Iq2 - Ip2 Iq1)Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir2
+
2 3 2 2
Ip2 Iq3 Ir1 + (Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2
+
2
%E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
2 2
(Ir1 Ir2 Rq2 + Ir1 Rp2 - %E Ir1 Ir2)Rq3
+
2
Iq2 Ir1 Rq2
+
(- Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2
*
Rq2
+
((- 2 Ir1 Ir3 - Iq2 Ir1)Rp2 + %E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rq1
+
2 2 2
Iq2 Ir1 Ir3 + (- Iq1 Iq2 Ir2 - %E Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir2
+
2 2
(2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2 + Ip3 Iq2 Ir1
+
3 2
(- Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq2 Ir3 Rq1 + %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2)Rq2
+
2
- Ip2 Ir3 Rq1
+
(- Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)Rq1
+
2 3 2
- %E Iq1 Rp2 + Iq1 Ir3 + (- Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2)Ir3
+
2 2
(Iq1 Iq3 Ir2 + Ip3 Iq1 Ir1 + %E Iq1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2 2 2
- Ip3 Iq3 Ir1 + ((2 Iq2 - 2 %E )Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2)Ir1
+
2
2 %E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2 2
(Ir3 + Iq2 Ir3)Rp2 Rq1
+
3 2 2
(%E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 - Iq2 Ir3 - 2 Iq2 Ir3
+
3 2 2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1 Iq2)Ir3 + Iq3 Ir2
+
2 2 2 2
%E Iq3 Ir2 + (2 Ip2 Iq2 Iq3 - 2 Ip3 Iq2 - %E Ip3)Ir1 + %E Ip2 Iq1
*
Rq1
+
2 2 2 2 2 2 3
(Iq1 Ir3 - 2 Iq1 Iq3 Ir1 Ir3 + Iq3 Ir1 + %E Iq1 )Rp2 - %E Iq1 Ir3
+
2
(%E Iq3 Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2)Ir3
+
2
- %E Iq1 Iq3 Ir2 + (%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2
+
2 3
- %E Ip2 Iq1 - %E Iq1
*
Ir3
+
2 2
(%E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2 Iq3)Ir2 + %E Ip3 Iq3 Ir1
+
2 3 3
((%E Iq2 + %E Ip2 Iq1 + %E )Iq3 - %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 - %E Iq1 Iq2
+
2 3
(- %E Ip2 Iq1 - %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
2
(Ip2 Ir3 - Ip3 Ir2 + Ip2 Iq2)Rq2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rp2
+
- %E Ip2 Ir3 + %E Ip3 Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq3
+
2
- Ip3 Iq2 Rq2 + ((Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rp2 + 2 %E Ip3 Iq2)Rq2
+
(- %E Iq3 Ir3 - %E Iq2 Iq3)Rp2 + Ip2 Iq2 Iq3 Ir3 - Ip3 Iq2 Iq3 Ir2
+
2 3 2
Ip2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq2 - %E Ip3 Iq2
*
2
Rr1
+
2 2 2
(- Ir2 Rq2 - Ir1 Ir2 Rp2 + %E Ir2 )Rq3
+
2
(Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rq2
+
- Ip2 Ir2 Rq1 + (Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2)Rp2 - %E Ir2 Ir3
+
2 %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1
*
Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rp2 + %E Ip2 Ir2)Rq1
+
2
(- %E Ir1 Ir3 + %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Iq2 Ir2 Ir3
+
2
((3 Iq2 + Ip2 Iq1)Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2 3 2
(- Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 + (Iq2 + (Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
3 2 2
Iq2 Ir3 Rq2 + (Ip2 Ir3 Rq1 + Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq2 Ir3 + %E Iq2 )Rq2
+
2
((- Ir3 - Iq2 Ir3)Rp2 - %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(- %E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
2
(- Iq3 Ir2 + Ip2 Iq1)Ir3
+
3
(- 2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 - Ip2 Iq3 Ir1 + Iq2
+
2
(Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Ir3
+
2 2 2
(- 2 Iq2 Iq3 - 2 Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 - 2 %E Iq2
*
Rq2
+
2 2 2
(%E Ir3 - %E Iq2 )Rp2 - Ip2 Iq2 Ir3
+
2
(- Ip2 Iq3 + Ip3 Iq2)Ir2 Ir3 + Ip3 Iq3 Ir2
+
2 2 2
(- 2 Ip2 Iq2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2 + %E Ip3)Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq1
+
2 2
- Iq1 Iq2 Ir3 + (Iq1 Iq3 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2 2
- %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2
*
Rp2
+
2
(%E Iq3 Ir2 - %E Ip2 Iq1)Ir3
+
3
(3 %E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1)Ir2 + %E Ip2 Iq3 Ir1 + %E Iq2
+
3
%E Iq2
*
Ir3
+
2 4
(2 %E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq2
+
3 2
(%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2
*
Rr1
+
2 3 2 2 2
(Ir1 Ir2 Ir3 - Iq1 Ir2 + 2 Iq2 Ir1 Ir2 + Ip2 Ir1 Ir2)Rq3
+
2
%E Ir1 Ir2 Rq2
+
2 2 2 2
- %E Ir2 Rq1 + %E Ir1 Rp2 - Ir1 Ir2 Ir3 + Iq1 Ir2 Ir3
+
2 2 2 2
(- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Ir2 + (- Ip3 Ir1 + (2 Iq2 - 2 %E )Ir1)Ir2
+
2
Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq2
+
2 2 2
- %E Ir1 Ir2 Rp2 - Ir2 Ir3 + (- 3 Iq2 Ir2 - 2 Ip2 Ir1 Ir2)Ir3
+
3 2 2 2
Iq3 Ir2 + (Ip3 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1 + %E )Ir2
*
Rq1
+
2 2 2 2 2
(- Iq1 Ir2 + 2 Iq1 Iq2 Ir1 Ir2 + (- Iq2 - %E )Ir1 )Rp2
+
2 2
%E Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq3 Ir1 Ir2
+
2 2 3
(%E Ip3 Ir1 + (%E Iq2 + %E Ip2 Iq1 + %E )Ir1)Ir2
*
Rq3
+
3
%E Iq2 Ir1 Rq2
+
2
(- %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1)Rq1 + %E Iq1 Ir1 Rp2 - Iq2 Ir1 Ir3
+
2 2
(Iq1 Iq2 Ir2 - Iq2 Ir1)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir1 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1
+
2
- 2 %E Iq2 Ir1
*
2
Rq2
+
2
- %E Ip2 Ir2 Rq1
+
3
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Ir2 Ir3
+
2 2
2 Iq2 Ir2 Ir3 + ((Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1 + %E )Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2 2
Iq2 Iq3 Ir2 + ((- Ip2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2)Ir1 + 2 %E Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2 2
(Iq1 Ir2 - Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1
+
2
- %E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
2
2 %E Iq2 Ir1 Ir3
+
2
(- %E Iq3 Ir1 Ir2 + (2 %E Iq2 + %E Ip2 Iq1)Ir1)Ir3
+
2
- %E Ip3 Iq1 Ir1 Ir2 + (- %E Ip2 Iq3 + 2 %E Ip3 Iq2)Ir1
+
3 3
(%E Iq2 + (%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2 2
(%E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rp2 + Ip2 Ir2 Ir3 - Ip3 Ir2 Ir3
+
2 2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Ir2
*
2
Rq1
+
2 2 2
(- Iq1 Iq2 Ir2 + (Iq2 + %E )Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir2
+
2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2
*
Rp2
+
3 2
- %E Ir2 Ir3 - 2 %E Iq2 Ir2 Ir3
+
2 2 3
(- %E Iq3 Ir2 + (- %E Ip3 Ir1 - 2 %E Iq2 - %E Ip2 Iq1 - %E )Ir2)Ir3
+
2
- %E Iq2 Iq3 Ir2
+
3 3
(- %E Ip3 Iq2 Ir1 - %E Iq2 + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
*
Rq1
+
3
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3
+
2 2 2
- Iq1 Iq3 Ir2 + (- Iq2 Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 )Ir2
+
3 2
(- Iq2 - %E Iq2)Ir1
*
2
Ir3
+
2 2 2
(Iq3 Ir1 - 2 Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir2
+
2 3
((- 2 Ip2 Iq1 + %E )Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2
+
2
Ip2 Iq1 Iq2
*
Ir2
+
4 2 2 2
(- Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2 - %E Ip2 Iq1)Ir1
*
Ir3
+
2 2 2 2
((Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 - Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir2
+
2 2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2 Iq3)Ir1
+
3 2 2 2
((Iq2 + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2 + %E Ip3 Iq1)Ir1
*
Ir2
+
2 2 3 2 2
((Ip2 Iq2 + %E Ip2)Iq3 - Ip3 Iq2 - %E Ip3 Iq2)Ir1
/
2
Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1
+
- Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
Type: Factored(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
fricas
C0:=zerosOf(C);
Type: List(Expression(Complex(Integer)))
fricas
#C0
(48) 3
fricas
imag(C0.1)
(49) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.2)
(50) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.3)
(51) 0
Type: Expression(Integer)
Given an operator , one must find the tensor
for unknown manifold of hermitian isomorphisms .
fricas
h:Matrix CC:=matrix [[Ra, complex(Rb,Ib), complex(Rc,Ic)], _
[complex(Rb,-Ib),Re, complex(Rd,Id)], _
[complex(Rc,-Ic),complex(Rd,-Id),Rf ]]
+ Ra Rb + Ib %i Rc + Ic %i+
| |
(52) |Rb - Ib %i Re Rd + Id %i|
| |
+Rc - Ic %i Rd - Id %i Rf +
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
test(h = htranspose h)
(53) true
Type: Boolean
fricas
H:=htranspose(rho)*h-h*rho
(54)
[
[(- 2 Ic Rp3 - 2 Ib Rp2 - 2 Ip3 Rc - 2 Ip2 Rb - 2 Ip1 Ra)%i,
- Rc Rq3 - Rb Rq2 - Ra Rq1 + Rd Rp3 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ic Iq3 + Ib Iq2
+
- Id Ip3 + Ib Ip1
+
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
*
%i
,
- Rc Rr3 - Rb Rr2 - Ra Rr1 + Rf Rp3 + Rd Rp2 + Rc Rp1 + Ic Ir3 + Ib Ir2
+
Id Ip2 + Ic Ip1
+
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd
+
(- Ir3 - Ip1)Rc - Ir2 Rb - Ir1 Ra
*
%i
]
,
[
Rc Rq3 + Rb Rq2 + Ra Rq1 - Rd Rp3 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ic Iq3 - Ib Iq2
+
Id Ip3 - Ib Ip1
+
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
*
%i
,
(- 2 Id Rq3 + 2 Ib Rq1 - 2 Iq2 Re - 2 Iq3 Rd - 2 Iq1 Rb)%i,
- Rd Rr3 - Re Rr2 - Rb Rr1 + Rf Rq3 + Rd Rq2 + Rc Rq1 + Id Ir3 - Ib Ir1
+
Id Iq2 + Ic Iq1
+
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re
+
(- Ir3 - Iq2)Rd - Iq1 Rc - Ir1 Rb
*
%i
]
,
[
Rc Rr3 + Rb Rr2 + Ra Rr1 - Rf Rp3 - Rd Rp2 - Rc Rp1 - Ic Ir3 - Ib Ir2
+
- Id Ip2 - Ic Ip1
+
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd
+
(- Ir3 - Ip1)Rc - Ir2 Rb - Ir1 Ra
*
%i
,
Rd Rr3 + Re Rr2 + Rb Rr1 - Rf Rq3 - Rd Rq2 - Rc Rq1 - Id Ir3 + Ib Ir1
+
- Id Iq2 - Ic Iq1
+
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re
+
(- Ir3 - Iq2)Rd - Iq1 Rc - Ir1 Rb
*
%i
,
(2 Id Rr2 + 2 Ic Rr1 - 2 Ir3 Rf - 2 Ir2 Rd - 2 Ir1 Rc)%i]
]
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
We wish to find expressions for in terms of the components of
. To do this we will determine how the components of depend
on the components of .
fricas
K:=concat( map(x+->[real x, imag x], concat(H::List List ?)))::List Polynomial Integer
(55)
[0, - 2 Ic Rp3 - 2 Ib Rp2 - 2 Ip3 Rc - 2 Ip2 Rb - 2 Ip1 Ra,
- Rc Rq3 - Rb Rq2 - Ra Rq1 + Rd Rp3 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ic Iq3 + Ib Iq2
+
- Id Ip3 + Ib Ip1
,
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
,
- Rc Rr3 - Rb Rr2 - Ra Rr1 + Rf Rp3 + Rd Rp2 + Rc Rp1 + Ic Ir3 + Ib Ir2
+
Id Ip2 + Ic Ip1
,
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc
+
- Ir2 Rb - Ir1 Ra
,
Rc Rq3 + Rb Rq2 + Ra Rq1 - Rd Rp3 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ic Iq3 - Ib Iq2
+
Id Ip3 - Ib Ip1
,
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
,
0, - 2 Id Rq3 + 2 Ib Rq1 - 2 Iq2 Re - 2 Iq3 Rd - 2 Iq1 Rb,
- Rd Rr3 - Re Rr2 - Rb Rr1 + Rf Rq3 + Rd Rq2 + Rc Rq1 + Id Ir3 - Ib Ir1
+
Id Iq2 + Ic Iq1
,
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd
+
- Iq1 Rc - Ir1 Rb
,
Rc Rr3 + Rb Rr2 + Ra Rr1 - Rf Rp3 - Rd Rp2 - Rc Rp1 - Ic Ir3 - Ib Ir2
+
- Id Ip2 - Ic Ip1
,
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc
+
- Ir2 Rb - Ir1 Ra
,
Rd Rr3 + Re Rr2 + Rb Rr1 - Rf Rq3 - Rd Rq2 - Rc Rq1 - Id Ir3 + Ib Ir1
+
- Id Iq2 - Ic Iq1
,
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd
+
- Iq1 Rc - Ir1 Rb
,
0, 2 Id Rr2 + 2 Ic Rr1 - 2 Ir3 Rf - 2 Ir2 Rd - 2 Ir1 Rc]
Type: List(Polynomial(Integer))
fricas
--K2:=groebner(K)
J:=jacobian(select(x+->x~=0,K), [Ra,Rb,Ib,Rc,Ic,Rd,Id,Re,Rf]::List Symbol)
(56)
[[- 2 Ip1, - 2 Ip2, - 2 Rp2, - 2 Ip3, - 2 Rp3, 0, 0, 0, 0],
[- Rq1, - Rq2 + Rp1, Iq2 + Ip1, - Rq3, Iq3, Rp3, - Ip3, Rp2, 0],
[- Iq1, - Iq2 - Ip1, - Rq2 + Rp1, - Iq3, - Rq3, - Ip3, - Rp3, - Ip2, 0],
[- Rr1, - Rr2, Ir2, - Rr3 + Rp1, Ir3 + Ip1, Rp2, Ip2, 0, Rp3],
[- Ir1, - Ir2, - Rr2, - Ir3 - Ip1, - Rr3 + Rp1, - Ip2, Rp2, 0, - Ip3],
[Rq1, Rq2 - Rp1, - Iq2 - Ip1, Rq3, - Iq3, - Rp3, Ip3, - Rp2, 0],
[- Iq1, - Iq2 - Ip1, - Rq2 + Rp1, - Iq3, - Rq3, - Ip3, - Rp3, - Ip2, 0],
[0, - 2 Iq1, 2 Rq1, 0, 0, - 2 Iq3, - 2 Rq3, - 2 Iq2, 0],
[0, - Rr1, - Ir1, Rq1, Iq1, - Rr3 + Rq2, Ir3 + Iq2, - Rr2, Rq3],
[0, - Ir1, Rr1, - Iq1, Rq1, - Ir3 - Iq2, - Rr3 + Rq2, - Ir2, - Iq3],
[Rr1, Rr2, - Ir2, Rr3 - Rp1, - Ir3 - Ip1, - Rp2, - Ip2, 0, - Rp3],
[- Ir1, - Ir2, - Rr2, - Ir3 - Ip1, - Rr3 + Rp1, - Ip2, Rp2, 0, - Ip3],
[0, Rr1, Ir1, - Rq1, - Iq1, Rr3 - Rq2, - Ir3 - Iq2, Rr2, - Rq3],
[0, - Ir1, Rr1, - Iq1, Rq1, - Ir3 - Iq2, - Rr3 + Rq2, - Ir2, - Iq3],
[0, 0, 0, - 2 Ir1, 2 Rr1, - 2 Ir2, 2 Rr2, 0, - 2 Ir3]]
Type: Matrix(Polynomial(Integer))
The null space (kernel) of the Jacobian
fricas
J2:=map(x+->eval(eval(eval(x,s1),s2),s3),J);
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
nrows(J2),ncols(J2)
(58) [15, 9]
Type: Tuple(PositiveInteger
?)
fricas
binomial(nrows(J2),ncols(J2))
(59) 5005
SandBoxHermitianIsomorphisms4
