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Edit detail for SandBoxHermitianIsomorphism3x revision 1 of 1
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Time: 2011/07/04 16:17:01 GMT-7 |
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changed: - A complex vector CC-space $V$ possesses many different hermitian isomorphisms $h^\dagger=h \in iso(V,V^\dagger)$. In quantum mechanics a given operator $\rho \in End(V)$ may be said to be $h$-hermitian if $$ \rho^\dagger \circ h = h \circ \rho $$ \begin{axiom} )set output tex off )set output algebra on \end{axiom} \begin{axiom} CC:=Complex Fraction Polynomial Integer -- dagger htranspose(h)==map(x+->conjugate(x),transpose h) )expose MCALCFN \end{axiom} Theorem The necessary conditions for an operator $\rho$ to possess hermitean isomorphism $h$ is that $trace \rho \in R$ and $det \rho \in R$. Two-Dimensions \begin{axiom} p1:CC:=complex(Rp1,Ip1) q1:CC:=complex(Rq1,Iq1) p2:CC:=complex(Rp2,Ip2) q2:CC:=complex(Rq2,Iq2) rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1],[p2,q2]] \end{axiom} \begin{axiom} s1:=solve(imag determinant rho,Rp2) s2:=solve(eval(imag trace rho,s1),Ip1) s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1), s2),Rp1) eval(eval(imag trace (rho*rho),s1),s2) \end{axiom} \begin{axiom} C:=eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1),s2) C0:=zerosOf(C) #C0 imag(C0.1) imag(C0.2) \end{axiom} \begin{axiom} rho0:=map(x+->eval(eval(x,s1),s2),rho) E:=eigenvalues(rho0) E0:=eigenvector(E.1,rho0) E1:=map(x+->eval(x,%D=C0.1),E0.1) E2:=map(x+->eval(x,%D=C0.2),E0.1) test(rho0*E1=C0(1)*E1) test(rho0*E2=C0(2)*E2) \end{axiom} Given an operator $\rho \in End V$, one must find the tensor $H=0$ for unknown manifold of hermitian isomorphisms $h$. \begin{axiom} h:Matrix CC:=matrix [[Ra,complex(Rb,Ib)],[complex(Rb,-Ib),Re]] test(h = htranspose h) H:=htranspose(rho)*h-h*rho \end{axiom} We wish to find expressions for $h$ in terms of the components of $\rho$. To do this we will determine how the components of $H$ depend on the components of $h$. \begin{axiom} J:=jacobian(concat( map(x+->[real x, imag x], concat(H::List List ?)) ), [Ra,Rb,Ib,Re]::List Symbol) \end{axiom} The null space (kernel) of the Jacobian \begin{axiom} N:=nullSpace(map(x+->eval(eval(x,s1),s2),J)) \end{axiom} gives the general solution to the problem. \begin{axiom} s4:=map((x,y)+->x=y,[Ra,Rb,Rb,Re],Ib*N.1+Re*N.2) map(x+->eval(eval(eval(x,s1),s2),s4),H) \end{axiom} Three-Dimensions \begin{axiom} p1:CC:=complex(Rp1,Ip1) q1:CC:=complex(Rq1,Iq1) r1:CC:=complex(Rr1,Ir1) p2:CC:=complex(Rp2,Ip2) q2:CC:=complex(Rq2,Iq2) r2:CC:=complex(Rr2,Ir2) p3:CC:=complex(Rp3,Ip3) q3:CC:=complex(Rq3,Iq3) r3:CC:=complex(Rr3,Ir3) rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1,r1],[p2,q2,r2],[p3,q3,r3]] \end{axiom} \begin{axiom} s1:=solve(imag determinant rho,Rp3) s2:=solve(eval(imag trace(rho),s1),Ip1) s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1),s2),Rp1) eval(eval(eval(imag trace(rho*rho*rho),s1),s2),s3) --s4:=radicalSolve(eval(eval(eval(imag trace(rho*rho*rho),s1),s2),s3),Iq3) --#s4 --s4.1+s4.2 \end{axiom} \begin{axiom} C:=eval(eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1),s2),s3) factor C C0:=zerosOf(C); #C0 imag(C0.1) imag(C0.2) imag(C0.3) \end{axiom} Given an operator $\rho \in End V$, one must find the tensor $H=0$ for unknown manifold of hermitian isomorphisms $h$. \begin{axiom} h:Matrix CC:=matrix [[Ra, complex(Rb,Ib), complex(Rc,Ic)], _ [complex(Rb,-Ib),Re, complex(Rd,Id)], _ [complex(Rc,-Ic),complex(Rd,-Id),Rf ]] test(h = htranspose h) H:=htranspose(rho)*h-h*rho \end{axiom} We wish to find expressions for $h$ in terms of the components of $\rho$. To do this we will determine how the components of $H$ depend on the components of $h$. \begin{axiom} K:=concat( map(x+->[real x, imag x], concat(H::List List ?)))::List Polynomial Integer --K2:=groebner(K) J:=jacobian(select(x+->x~=0,K), [Ra,Rb,Ib,Rc,Ic,Rd,Id,Re,Rf]::List Symbol) \end{axiom} The null space (kernel) of the Jacobian \begin{axiom} J2:=map(x+->eval(eval(eval(x,s1),s2),s3),J); nrows(J2),ncols(J2) binomial(nrows(J2),ncols(J2)) --[determinant(matrix map(x+->row(J2,x+1)::List ?,subSet(nrows(J2),ncols(J2),random(binomial(nrows(J2),ncols(J2)))) )) for i in 0..1] --N:=nullSpace J2 \end{axiom} From BillPage Sun Jul 3 17:35:35 -0700 2011 From: Bill Page Date: Sun, 03 Jul 2011 17:35:35 -0700 Subject: Eigenvectors and Diagonalization Message-ID: <20110703173535-0700@axiom-wiki.newsynthesis.org> SandBoxHermitianIsomorphisms4
A complex vector CC-space 
possesses many different hermitian isomorphisms
. In quantum mechanics a given operator
may be said to be 
-hermitian if
 |
fricas
)set output tex off
fricas
)set output algebra on
fricas
CC:=Complex Fraction Polynomial Integer
(1) Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
Type: Type
fricas
-- dagger htranspose(h)==map(x+->conjugate(x),transpose h)
Type: Void
fricas
)expose MCALCFN
MultiVariableCalculusFunctions is now explicitly exposed in frame initial
Theorem
The necessary conditions for an operator 
to possess hermitean isomorphism
is that 
and 
.
Two-Dimensions
fricas
p1:CC:=complex(Rp1,Ip1)
(3) Rp1 + Ip1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q1:CC:=complex(Rq1,Iq1)
(4) Rq1 + Iq1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p2:CC:=complex(Rp2,Ip2)
(5) Rp2 + Ip2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q2:CC:=complex(Rq2,Iq2)
(6) Rq2 + Iq2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1], [p2, q2]]
+Rp1 + Ip1 %i Rq1 + Iq1 %i+ (7) | | +Rp2 + Ip2 %i Rq2 + Iq2 %i+
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s1:=solve(imag determinant rho,Rp2)
Ip1 Rq2 - Ip2 Rq1 + Iq2 Rp1 (8) [Rp2 = ---------------------------] Iq1
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s2:=solve(eval(imag trace rho,s1), Ip1)
(9) [Ip1 = - Iq2]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1), s2), Rp1)
(10) [0 = 0]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
eval(eval(imag trace (rho*rho),s1), s2)
(11) 0
Type: Fraction(Polynomial(Integer))
fricas
C:=eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1), s2)
(12) 2 (Iq2 Rq1 + Iq1 Rp1 - %B Iq1)Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 Rq1 - %B Iq1 Rp1 + 2 2 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + %B Iq1 / Iq1
Type: Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))
fricas
C0:=zerosOf(C)
(13) [ ROOT 2 2 Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1 + 2 2 2 4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1 / Iq1 + Rq2 + Rp1 / 2 ,
- ROOT 2 2 Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1 + 2 2 2 4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1 / Iq1 + Rq2 + Rp1 / 2 ]
Type: List(Expression(Complex(Integer)))
fricas
#C0
(14) 2
Type: PositiveInteger?
fricas
imag(C0.1)
(15) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.2)
(16) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
rho0:=map(x+->eval(eval(x,s1), s2), rho)
+ Rp1 - %i Iq2 Rq1 + %i Iq1+ | | (17) |- Iq2 Rq2 - Ip2 Rq1 + Iq2 Rp1 + %i Ip2 Iq1 | |------------------------------------------ Rq2 + %i Iq2| + Iq1 +
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
fricas
E:=eigenvalues(rho0)
(18) [ %D | 2 (Iq2 Rq1 + Iq1 Rp1 - %D Iq1)Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 Rq1 - %D Iq1 Rp1 + 2 2 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + %D Iq1 ]
Type: List(Union(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))),
fricas
E0:=eigenvector(E.1,rho0)
+ Iq1 Rq2 + %i Iq1 Iq2 - %D Iq1 + |----------------------------------------| (19) [|Iq2 Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 - %i Ip2 Iq1|] | | + 1 +
Type: List(Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))))
fricas
E1:=map(x+->eval(x,%D=C0.1), E0.1)
(20) [ [ - Iq1 * ROOT 2 2 Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1 + 2 2 2 4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1 / Iq1 + Iq1 Rq2 - Iq1 Rp1 + 2 %i Iq1 Iq2 / 2 Iq2 Rq2 + 2 Ip2 Rq1 - 2 Iq2 Rp1 - 2 %i Ip2 Iq1 ] ,[1]]
Type: Matrix(Expression(Complex(Integer)))
fricas
E2:=map(x+->eval(x,%D=C0.2), E0.1)
(21) [ [ Iq1 * ROOT 2 2 Iq1 Rq2 + (- 4 Iq2 Rq1 - 2 Iq1 Rp1)Rq2 - 4 Ip2 Rq1 + 2 2 2 4 Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1 - 4 Iq1 Iq2 - 4 Ip2 Iq1 / Iq1 + Iq1 Rq2 - Iq1 Rp1 + 2 %i Iq1 Iq2 / 2 Iq2 Rq2 + 2 Ip2 Rq1 - 2 Iq2 Rp1 - 2 %i Ip2 Iq1 ] ,[1]]
Type: Matrix(Expression(Complex(Integer)))
fricas
test(rho0*E1=C0(1)*E1)
(22) true
Type: Boolean
fricas
test(rho0*E2=C0(2)*E2)
(23) true
Type: Boolean
Given an operator 
, one must find the tensor 
for unknown manifold of hermitian isomorphisms .
fricas
h:Matrix CC:=matrix [[Ra,complex(Rb, Ib)], [complex(Rb, -Ib), Re]]
+ Ra Rb + Ib %i+ (24) | | +Rb - Ib %i Re +
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
test(h = htranspose h)
fricas
Compiling function htranspose with type Matrix(Complex(Fraction(
Polynomial(Integer)))) -> Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(
Integer))))
(25) trueType: Boolean
fricas
H:=htranspose(rho)*h-h*rho
(26) [ [(- 2 Ib Rp2 - 2 Ip2 Rb - 2 Ip1 Ra)%i,
- Rb Rq2 - Ra Rq1 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ib Iq2 + Ib Ip1 + (- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra)%i ] ,
[ Rb Rq2 + Ra Rq1 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ib Iq2 - Ib Ip1 + (- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra)%i ,(2 Ib Rq1 - 2 Iq2 Re - 2 Iq1 Rb)%i] ]
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
We wish to find expressions for in terms of the components of
. To do this we will determine how the components of 
depend
on the components of .
fricas
J:=jacobian(concat( map(x+->[real x,imag x], concat(H::List List ?)) ), [Ra, Rb, Ib, Re]::List Symbol)
+ 0 0 0 0 + | | |- 2 Ip1 - 2 Ip2 - 2 Rp2 0 | | | | - Rq1 - Rq2 + Rp1 Iq2 + Ip1 Rp2 | | | | - Iq1 - Iq2 - Ip1 - Rq2 + Rp1 - Ip2 | (27) | | | Rq1 Rq2 - Rp1 - Iq2 - Ip1 - Rp2 | | | | - Iq1 - Iq2 - Ip1 - Rq2 + Rp1 - Ip2 | | | | 0 0 0 0 | | | + 0 - 2 Iq1 2 Rq1 - 2 Iq2+
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
The null space (kernel) of the Jacobian
fricas
N:=nullSpace(map(x+->eval(eval(x,s1), s2), J))
- Rq2 + Rp1 Rq1 Ip2 Iq2 (28) [[-----------,---, 1, 0], [- ---, - ---, 0, 1]] Iq1 Iq1 Iq1 Iq1
Type: List(Vector(Fraction(Polynomial(Integer))))
gives the general solution to the problem.
fricas
s4:=map((x,y)+->x=y, [Ra, Rb, Rb, Re], Ib*N.1+Re*N.2)
(29) - Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re Ib Rq1 - Iq2 Re [Ra = --------------------------,Rb = ---------------, Rb = Ib, Re = Re] Iq1 Iq1
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
map(x+->eval(eval(eval(x,s1), s2), s4), H)
+0 0+ (30) | | +0 0+
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
Three-Dimensions
fricas
p1:CC:=complex(Rp1,Ip1)
(31) Rp1 + Ip1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q1:CC:=complex(Rq1,Iq1)
(32) Rq1 + Iq1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r1:CC:=complex(Rr1,Ir1)
(33) Rr1 + Ir1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p2:CC:=complex(Rp2,Ip2)
(34) Rp2 + Ip2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q2:CC:=complex(Rq2,Iq2)
(35) Rq2 + Iq2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r2:CC:=complex(Rr2,Ir2)
(36) Rr2 + Ir2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p3:CC:=complex(Rp3,Ip3)
(37) Rp3 + Ip3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q3:CC:=complex(Rq3,Iq3)
(38) Rq3 + Iq3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r3:CC:=complex(Rr3,Ir3)
(39) Rr3 + Ir3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1, r1], [p2, q2, r2], [p3, q3, r3]]
+Rp1 + Ip1 %i Rq1 + Iq1 %i Rr1 + Ir1 %i+ | | (40) |Rp2 + Ip2 %i Rq2 + Iq2 %i Rr2 + Ir2 %i| | | +Rp3 + Ip3 %i Rq3 + Iq3 %i Rr3 + Ir3 %i+
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s1:=solve(imag determinant rho,Rp3)
(41) [ Rp3 = (- Ip1 Rq2 + Ip2 Rq1 + Iq1 Rp2 - Iq2 Rp1)Rr3 + (Ip1 Rq3 - Ip3 Rq1 + Iq3 Rp1)Rr2 + (- Ip2 Rq3 + Ip3 Rq2 - Iq3 Rp2)Rr1 + (- Ir1 Rp2 + Ir2 Rp1)Rq3 - Ir3 Rp1 Rq2 + Ir3 Rp2 Rq1 + (Ip1 Iq2 - Ip2 Iq1)Ir3 + (- Ip1 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir2 + (Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 / Iq1 Rr2 - Iq2 Rr1 - Ir1 Rq2 + Ir2 Rq1 ]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s2:=solve(eval(imag trace(rho),s1), Ip1)
(42) [Ip1 = - Ir3 - Iq2]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1), s2), Rp1)
(43) [ Rp1 = Iq1 Ir3 Rr2 - Iq2 Ir3 Rr1 + Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 * Rr3 + 2 Iq1 Iq3 Rr2 + (- Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Rr1 + (- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - Iq2 Ir1)Rq3 + (- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2 + (Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1 + 2 Iq1 Rp2 * Rr2 + 2 - Ip3 Iq2 Rr1 + 2 (- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq3 - Iq2 Rq2 + (Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1 + (- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 * Rr1 + 2 2 2 (- Ir1 Ir2 Rq2 + Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2)Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + 2 ((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2)Rq2 + Ip2 Ir2 Rq1 + 2 (Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2)Rp2 Rq1 - Iq2 Ir1 Ir3 + 2 (Iq3 Ir1 Ir2 + (- Iq2 - Ip2 Iq1)Ir1)Ir3 + (Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 + 2 (Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 / Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2 + 2 (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1 - Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1 ]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
eval(eval(eval(imag trace(rho*rho*rho),s1), s2), s3)
(44) 0
Type: Fraction(Polynomial(Integer))
fricas
C:=eval(eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1), s2), s3)
(45) 2 (Iq1 Ir3 Rq2 - Iq2 Ir3 Rq1 - %E Iq1 Ir3)Rr2 + Iq2 Ir1 Rq2 + ((Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 - 2 %E Iq2 Ir1)Rq2 + (- Iq2 Ir1 Rp2 - %E Ir2 Ir3 - %E Ip2 Ir1)Rq1 - %E Iq1 Ir1 Rp2 + 3 2 Iq1 Iq2 Ir2 Ir3 + (Iq2 + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1 * 2 Rr3 + (- Iq1 Ir3 Rq3 + Iq1 Iq3 Rq2 + (Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3) * 2 Rr2 + Iq2 Ir3 Rq3 + (- Iq3 Ir3 + Ip3 Iq1)Rq2 - Ip3 Iq2 Rq1 + %E Iq3 Ir3 - %E Ip3 Iq1 * Rr1 + (- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - 2 Iq2 Ir1)Rq2 + (- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3 + - %E Iq1 Ir2 + 2 %E Iq2 Ir1 * Rq3 + 2 (- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2 + 2 (2 Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1 + Iq1 Rp2 + - 2 %E Iq1 Ir3 + 2 %E Iq3 Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2 * Rq2 + 2 Ip2 Ir3 Rq1 + ((Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1) * Rq1 + 2 - %E Iq1 Rp2 + 2 2 2 (- Iq2 Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 + 2 %E Iq1)Ir3 + Iq1 Iq2 Iq3 Ir2 + 2 2 3 ((- 3 Iq2 - Ip2 Iq1 - %E )Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2 + 2 2 (Ip2 Iq1 + %E Iq1)Iq2 * Rr2 + (- Ir2 Ir3 - Ip2 Ir1)Rq2 + Iq2 Ir1 Rp2 + %E Ir2 Ir3 + %E Ip2 Ir1 * Rq3 + 2 2 (- 2 Iq2 Ir3 - Iq2 )Rq2 + (- Ip2 Ir3 + Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1 + 2 (- Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 + 4 %E Iq2 Ir3 + 2 %E Iq2 * Rq2 + 2 ((Iq2 Ir3 + Iq2 )Rp2 + %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1 + (%E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 + 3 2 (- Iq2 Iq3 Ir2 - 2 Iq2 + (- Ip2 Iq1 - 2 %E )Iq2)Ir3 + 4 2 2 Ip3 Iq1 Iq2 Ir2 - Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 - Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2 * Rr1 + 2 2 2 - Ir1 Ir2 Rq2 + (Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2 + 2 %E Ir1 Ir2)Rq2 + 2 2 (Ir1 Ir2 Rp2 - %E Ir2 )Rq1 + %E Ir1 Rp2 + 2 2 (- Iq1 Ir2 - Iq2 Ir1 Ir2)Ir3 + Iq1 Iq2 Ir2 + 2 2 2 (- 3 Iq2 - Ip2 Iq1 - %E )Ir1 Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1 * Rq3 + 3 - Iq2 Ir1 Rq2 + 2 ((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Iq2 Ir1)Rq2 + 2 Ip2 Ir2 Rq1 + (Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rp2 - 2 %E Ir2 Ir3 + - 2 %E Iq2 Ir2 * Rq1 + ((Iq3 Ir1 - 2 Iq1 Iq2)Ir2 - Ip2 Iq1 Ir1)Ir3 + 2 (2 Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 + Ip2 Iq3 Ir1 + 3 2 (- Iq2 + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1 * Rq2 + 2 ((- Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rp2 - %E Ip2 Ir2)Rq1 + (- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 + %E Iq2 Ir1)Rp2 + 2 2 2 (Iq3 Ir2 + (2 Iq2 + 2 %E )Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3 + 3 2 ((Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 + Iq2 + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir2 + 2 %E Ip2 Ir1 * Rq1 + 2 2 (- Iq1 Ir2 + Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 - Iq2 Iq3 Ir1 + 2 %E Iq1 Ir1 * Rp2 + (- %E Iq3 Ir1 Ir2 + %E Ip2 Iq1 Ir1)Ir3 + 2 (- 2 %E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 - %E Ip2 Iq3 Ir1 + 3 3 (- %E Iq2 + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1 * Rr3 + 2 3 (- Iq1 Iq3 Rq3 + Iq3 Rq1)Rr2 + 2 2 ((Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Rq3 - Iq3 Rq2 + Ip3 Iq3 Rq1 + %E Iq3 )Rr1 + 2 (Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rq3 + (Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rq2 + 2 2 (- Ir3 - 2 Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 + Ip3 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1)Rq1 + 2 - Iq1 Rp2 + %E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2 * Rq3 + ((- Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)Rq2 + 2 2 (- Ip3 Ir3 + Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Rq1 + Iq1 Iq3 Rp2 Rq1 - Iq1 Iq3 Ir3 + 2 2 (Iq3 Ir1 - 3 Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir3 + 2 2 2 2 (2 Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 + (- Iq1 Iq2 + %E Iq1)Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2 * 2 Rr2 + 2 (Ip3 Iq2 Rq3 - Ip3 Iq3 Rq2 + %E Ip3 Iq3)Rr1 + 2 (Iq2 Ir2 + Ip2 Ir1)Rq3 + 2 2 (Ir3 + 2 Iq2 Ir3 - 2 Iq3 Ir2 + 2 Iq2 )Rq2 - Ip2 Ir3 Rq1 + 2 (Iq1 Ir3 + 2 Iq1 Iq2)Rp2 - 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fricas
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Iq3 Ir1 Ir2 + 2 2 2 - Ip3 Iq3 Ir1 + ((2 Iq2 - 2 %E )Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + 2 2 %E Iq1 Iq2 * Rq2 + 2 2 (Ir3 + Iq2 Ir3)Rp2 Rq1 + 3 2 2 (%E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 - Iq2 Ir3 - 2 Iq2 Ir3 + 3 2 2 (- Iq2 Iq3 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1 Iq2)Ir3 + Iq3 Ir2 + 2 2 2 2 %E Iq3 Ir2 + (2 Ip2 Iq2 Iq3 - 2 Ip3 Iq2 - %E Ip3)Ir1 + %E Ip2 Iq1 * Rq1 + 2 2 2 2 2 2 3 (Iq1 Ir3 - 2 Iq1 Iq3 Ir1 Ir3 + Iq3 Ir1 + %E Iq1 )Rp2 - %E Iq1 Ir3 + 2 (%E Iq3 Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2)Ir3 + 2 - %E Iq1 Iq3 Ir2 + (%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 - 2 %E Iq1 Iq2 + 2 3 - %E Ip2 Iq1 - %E Iq1 * Ir3 + 2 2 (%E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2 Iq3)Ir2 + %E Ip3 Iq3 Ir1 + 2 3 3 ((%E Iq2 + %E Ip2 Iq1 + %E )Iq3 - %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 - %E Iq1 Iq2 + 2 3 (- %E Ip2 Iq1 - %E Iq1)Iq2 * Rr2 + 2 (Ip2 Ir3 - Ip3 Ir2 + Ip2 Iq2)Rq2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rp2 + - %E Ip2 Ir3 + %E Ip3 Ir2 - %E Ip2 Iq2 * Rq3 + 2 - Ip3 Iq2 Rq2 + ((Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rp2 + 2 %E Ip3 Iq2)Rq2 + (- %E Iq3 Ir3 - %E Iq2 Iq3)Rp2 + Ip2 Iq2 Iq3 Ir3 - Ip3 Iq2 Iq3 Ir2 + 2 3 2 Ip2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq2 - %E Ip3 Iq2 * 2 Rr1 + 2 2 2 (- Ir2 Rq2 - Ir1 Ir2 Rp2 + %E Ir2 )Rq3 + 2 (Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rq2 + - Ip2 Ir2 Rq1 + (Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2)Rp2 - %E Ir2 Ir3 + 2 %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1 * Rq2 + ((Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rp2 + %E Ip2 Ir2)Rq1 + 2 (- %E Ir1 Ir3 + %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Iq2 Ir2 Ir3 + 2 ((3 Iq2 + Ip2 Iq1)Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3 + 2 3 2 (- Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 + (Iq2 + (Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2 + 2 - %E Ip2 Ir1 * Rq3 + 3 2 2 Iq2 Ir3 Rq2 + (Ip2 Ir3 Rq1 + Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq2 Ir3 + %E Iq2 )Rq2 + 2 ((- Ir3 - Iq2 Ir3)Rp2 - %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1 + (- %E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 + 2 (- Iq3 Ir2 + Ip2 Iq1)Ir3 + 3 (- 2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 - Ip2 Iq3 Ir1 + Iq2 + 2 (Ip2 Iq1 - %E )Iq2 * Ir3 + 2 2 2 (- 2 Iq2 Iq3 - 2 Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 - 2 %E Iq2 * Rq2 + 2 2 2 (%E Ir3 - %E Iq2 )Rp2 - Ip2 Iq2 Ir3 + 2 (- Ip2 Iq3 + Ip3 Iq2)Ir2 Ir3 + Ip3 Iq3 Ir2 + 2 2 2 (- 2 Ip2 Iq2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2 + %E Ip3)Ir2 - %E Ip2 Iq2 * Rq1 + 2 2 - Iq1 Iq2 Ir3 + (Iq1 Iq3 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2 + 2 2 - %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2 * Rp2 + 2 (%E Iq3 Ir2 - %E Ip2 Iq1)Ir3 + 3 (3 %E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1)Ir2 + %E Ip2 Iq3 Ir1 + %E Iq2 + 3 %E Iq2 * Ir3 + 2 4 (2 %E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq2 + 3 2 (%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2 * Rr1 + 2 3 2 2 2 (Ir1 Ir2 Ir3 - Iq1 Ir2 + 2 Iq2 Ir1 Ir2 + Ip2 Ir1 Ir2)Rq3 + 2 %E Ir1 Ir2 Rq2 + 2 2 2 2 - %E Ir2 Rq1 + %E Ir1 Rp2 - Ir1 Ir2 Ir3 + Iq1 Ir2 Ir3 + 2 2 2 2 (- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Ir2 + (- Ip3 Ir1 + (2 Iq2 - 2 %E )Ir1)Ir2 + 2 Ip2 Iq2 Ir1 * Rq2 + 2 2 2 - %E Ir1 Ir2 Rp2 - Ir2 Ir3 + (- 3 Iq2 Ir2 - 2 Ip2 Ir1 Ir2)Ir3 + 3 2 2 2 Iq3 Ir2 + (Ip3 Ir1 - Iq2 - Ip2 Iq1 + %E )Ir2 * Rq1 + 2 2 2 2 2 (- Iq1 Ir2 + 2 Iq1 Iq2 Ir1 Ir2 + (- Iq2 - %E )Ir1 )Rp2 + 2 2 %E Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq3 Ir1 Ir2 + 2 2 3 (%E Ip3 Ir1 + (%E Iq2 + %E Ip2 Iq1 + %E )Ir1)Ir2 * Rq3 + 3 %E Iq2 Ir1 Rq2 + 2 (- %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1)Rq1 + %E Iq1 Ir1 Rp2 - Iq2 Ir1 Ir3 + 2 2 (Iq1 Iq2 Ir2 - Iq2 Ir1)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir1 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1 + 2 - 2 %E Iq2 Ir1 * 2 Rq2 + 2 - %E Ip2 Ir2 Rq1 + 3 (- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Ir2 Ir3 + 2 2 2 Iq2 Ir2 Ir3 + ((Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1 + %E )Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1)Ir3 + 2 2 Iq2 Iq3 Ir2 + ((- Ip2 Iq3 + 2 Ip3 Iq2)Ir1 + 2 %E Iq2)Ir2 + 2 - %E Ip2 Ir1 * Rq1 + 2 2 (Iq1 Ir2 - Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1 + 2 - %E Iq1 Ir1 * Rp2 + 2 2 %E Iq2 Ir1 Ir3 + 2 (- %E Iq3 Ir1 Ir2 + (2 %E Iq2 + %E Ip2 Iq1)Ir1)Ir3 + 2 - %E Ip3 Iq1 Ir1 Ir2 + (- %E Ip2 Iq3 + 2 %E Ip3 Iq2)Ir1 + 3 3 (%E Iq2 + (%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1 * Rq2 + 2 2 (%E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rp2 + Ip2 Ir2 Ir3 - Ip3 Ir2 Ir3 + 2 2 (Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Ir2 * 2 Rq1 + 2 2 2 (- Iq1 Iq2 Ir2 + (Iq2 + %E )Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir2 + 2 (- Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2 * Rp2 + 3 2 - %E Ir2 Ir3 - 2 %E Iq2 Ir2 Ir3 + 2 2 3 (- %E Iq3 Ir2 + (- %E Ip3 Ir1 - 2 %E Iq2 - %E Ip2 Iq1 - %E )Ir2)Ir3 + 2 - %E Iq2 Iq3 Ir2 + 3 3 (- %E Ip3 Iq2 Ir1 - %E Iq2 + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2 * Rq1 + 3 Iq1 Iq2 Ir2 Ir3 + 2 2 2 - Iq1 Iq3 Ir2 + (- Iq2 Iq3 Ir1 + 2 Iq1 Iq2 + Ip2 Iq1 )Ir2 + 3 2 (- Iq2 - %E Iq2)Ir1 * 2 Ir3 + 2 2 2 (Iq3 Ir1 - 2 Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir2 + 2 3 ((- 2 Ip2 Iq1 + %E )Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2 + 2 Ip2 Iq1 Iq2 * Ir2 + 4 2 2 2 (- Iq2 + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2 - %E Ip2 Iq1)Ir1 * Ir3 + 2 2 2 2 ((Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 - Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 + 2 2 (Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2 Iq3)Ir1 + 3 2 2 2 ((Iq2 + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Iq3 + 2 Ip3 Iq1 Iq2 + %E Ip3 Iq1)Ir1 * Ir2 + 2 2 3 2 2 ((Ip2 Iq2 + %E Ip2)Iq3 - Ip3 Iq2 - %E Ip3 Iq2)Ir1 / 2 Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1 + - Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
Type: Factored(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
fricas
C0:=zerosOf(C);
Type: List(Expression(Complex(Integer)))
fricas
#C0
(48) 3
Type: PositiveInteger?
fricas
imag(C0.1)
(49) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.2)
(50) 0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.3)
(51) 0
Type: Expression(Integer)
Given an operator , one must find the tensor
for unknown manifold of hermitian isomorphisms .
fricas
h:Matrix CC:=matrix [[Ra,complex(Rb, Ib), complex(Rc, Ic)], _ [complex(Rb, -Ib), Re, complex(Rd, Id)], _ [complex(Rc, -Ic), complex(Rd, -Id), Rf ]]
+ Ra Rb + Ib %i Rc + Ic %i+ | | (52) |Rb - Ib %i Re Rd + Id %i| | | +Rc - Ic %i Rd - Id %i Rf +
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
test(h = htranspose h)
(53) true
Type: Boolean
fricas
H:=htranspose(rho)*h-h*rho
(54) [ [(- 2 Ic Rp3 - 2 Ib Rp2 - 2 Ip3 Rc - 2 Ip2 Rb - 2 Ip1 Ra)%i,
- Rc Rq3 - Rb Rq2 - Ra Rq1 + Rd Rp3 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ic Iq3 + Ib Iq2 + - Id Ip3 + Ib Ip1 + - Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra * %i ,
- Rc Rr3 - Rb Rr2 - Ra Rr1 + Rf Rp3 + Rd Rp2 + Rc Rp1 + Ic Ir3 + Ib Ir2 + Id Ip2 + Ic Ip1 + - Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc - Ir2 Rb - Ir1 Ra * %i ] ,
[ Rc Rq3 + Rb Rq2 + Ra Rq1 - Rd Rp3 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ic Iq3 - Ib Iq2 + Id Ip3 - Ib Ip1 + - Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra * %i ,(- 2 Id Rq3 + 2 Ib Rq1 - 2 Iq2 Re - 2 Iq3 Rd - 2 Iq1 Rb)%i,
- Rd Rr3 - Re Rr2 - Rb Rr1 + Rf Rq3 + Rd Rq2 + Rc Rq1 + Id Ir3 - Ib Ir1 + Id Iq2 + Ic Iq1 + - Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd - Iq1 Rc - Ir1 Rb * %i ] ,
[ Rc Rr3 + Rb Rr2 + Ra Rr1 - Rf Rp3 - Rd Rp2 - Rc Rp1 - Ic Ir3 - Ib Ir2 + - Id Ip2 - Ic Ip1 + - Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc - Ir2 Rb - Ir1 Ra * %i ,
Rd Rr3 + Re Rr2 + Rb Rr1 - Rf Rq3 - Rd Rq2 - Rc Rq1 - Id Ir3 + Ib Ir1 + - Id Iq2 - Ic Iq1 + - Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd - Iq1 Rc - Ir1 Rb * %i ,(2 Id Rr2 + 2 Ic Rr1 - 2 Ir3 Rf - 2 Ir2 Rd - 2 Ir1 Rc)%i] ]
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
We wish to find expressions for in terms of the components of
. To do this we will determine how the components of depend
on the components of .
fricas
K:=concat( map(x+->[real x,imag x], concat(H::List List ?)))::List Polynomial Integer
(55) [0,- 2 Ic Rp3 - 2 Ib Rp2 - 2 Ip3 Rc - 2 Ip2 Rb - 2 Ip1 Ra,
- Rc Rq3 - Rb Rq2 - Ra Rq1 + Rd Rp3 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ic Iq3 + Ib Iq2 + - Id Ip3 + Ib Ip1 ,
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra ,
- Rc Rr3 - Rb Rr2 - Ra Rr1 + Rf Rp3 + Rd Rp2 + Rc Rp1 + Ic Ir3 + Ib Ir2 + Id Ip2 + Ic Ip1 ,
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc + - Ir2 Rb - Ir1 Ra ,
Rc Rq3 + Rb Rq2 + Ra Rq1 - Rd Rp3 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ic Iq3 - Ib Iq2 + Id Ip3 - Ib Ip1 ,
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra ,0, - 2 Id Rq3 + 2 Ib Rq1 - 2 Iq2 Re - 2 Iq3 Rd - 2 Iq1 Rb,
- Rd Rr3 - Re Rr2 - Rb Rr1 + Rf Rq3 + Rd Rq2 + Rc Rq1 + Id Ir3 - Ib Ir1 + Id Iq2 + Ic Iq1 ,
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd + - Iq1 Rc - Ir1 Rb ,
Rc Rr3 + Rb Rr2 + Ra Rr1 - Rf Rp3 - Rd Rp2 - Rc Rp1 - Ic Ir3 - Ib Ir2 + - Id Ip2 - Ic Ip1 ,
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc + - Ir2 Rb - Ir1 Ra ,
Rd Rr3 + Re Rr2 + Rb Rr1 - Rf Rq3 - Rd Rq2 - Rc Rq1 - Id Ir3 + Ib Ir1 + - Id Iq2 - Ic Iq1 ,
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd + - Iq1 Rc - Ir1 Rb ,0, 2 Id Rr2 + 2 Ic Rr1 - 2 Ir3 Rf - 2 Ir2 Rd - 2 Ir1 Rc]
Type: List(Polynomial(Integer))
fricas
--K2:=groebner(K) J:=jacobian(select(x+->x~=0,K), [Ra, Rb, Ib, Rc, Ic, Rd, Id, Re, Rf]::List Symbol)
(56) [[- 2 Ip1,- 2 Ip2, - 2 Rp2, - 2 Ip3, - 2 Rp3, 0, 0, 0, 0], [- Rq1, - Rq2 + Rp1, Iq2 + Ip1, - Rq3, Iq3, Rp3, - Ip3, Rp2, 0], [- Iq1, - Iq2 - Ip1, - Rq2 + Rp1, - Iq3, - Rq3, - Ip3, - Rp3, - Ip2, 0], [- Rr1, - Rr2, Ir2, - Rr3 + Rp1, Ir3 + Ip1, Rp2, Ip2, 0, Rp3], [- Ir1, - Ir2, - Rr2, - Ir3 - Ip1, - Rr3 + Rp1, - Ip2, Rp2, 0, - Ip3], [Rq1, Rq2 - Rp1, - Iq2 - Ip1, Rq3, - Iq3, - Rp3, Ip3, - Rp2, 0], [- Iq1, - Iq2 - Ip1, - Rq2 + Rp1, - Iq3, - Rq3, - Ip3, - Rp3, - Ip2, 0], [0, - 2 Iq1, 2 Rq1, 0, 0, - 2 Iq3, - 2 Rq3, - 2 Iq2, 0], [0, - Rr1, - Ir1, Rq1, Iq1, - Rr3 + Rq2, Ir3 + Iq2, - Rr2, Rq3], [0, - Ir1, Rr1, - Iq1, Rq1, - Ir3 - Iq2, - Rr3 + Rq2, - Ir2, - Iq3], [Rr1, Rr2, - Ir2, Rr3 - Rp1, - Ir3 - Ip1, - Rp2, - Ip2, 0, - Rp3], [- Ir1, - Ir2, - Rr2, - Ir3 - Ip1, - Rr3 + Rp1, - Ip2, Rp2, 0, - Ip3], [0, Rr1, Ir1, - Rq1, - Iq1, Rr3 - Rq2, - Ir3 - Iq2, Rr2, - Rq3], [0, - Ir1, Rr1, - Iq1, Rq1, - Ir3 - Iq2, - Rr3 + Rq2, - Ir2, - Iq3], [0, 0, 0, - 2 Ir1, 2 Rr1, - 2 Ir2, 2 Rr2, 0, - 2 Ir3]]
Type: Matrix(Polynomial(Integer))
The null space (kernel) of the Jacobian
fricas
J2:=map(x+->eval(eval(eval(x,s1), s2), s3), J);
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
nrows(J2),ncols(J2)
(58) [15,9]
Type: Tuple(PositiveInteger?)
fricas
binomial(nrows(J2),ncols(J2))
(59) 5005
Type: PositiveInteger?
Eigenvectors and Diagonalization --Bill Page, Sun, 03 Jul 2011 17:35:35 -0700 reply
SandBoxHermitianIsomorphisms4